Como excluir documentos retornados por uma consulta de agregação no mongodb

Desde a remoção não tiver uma condição de consulta, ela corresponderá a todos os documentos e excluirá, independentemente do resultado da agregação.

Solução (coincidir com os ids do documento do cursor atual):

db.getCollection("Collection")
  .aggregate([
    {
      $match: { status: { $in: ["inserted", "done", "duplicated", "error"] } }
    },
    {
      $project: {
        yearMonthDay: { $dateToString: { format: "%Y-%m-%d", date: "$date" } }
      }
    },
    { $match: { yearMonthDay: { $eq: "2019-08-06" } } }
  ])
  .forEach(function(doc) {
    db.getCollection("Collection").remove({ "_id": doc._id });
  });

Outra solução melhor seria ter uma única viagem de ida e volta para db enquanto a exclusão é obter uma lista de IDs da agregação cursor() via cursor.map()

var idsList = db
  .getCollection("Collection")
  .aggregate([
    {
      $match: { status: { $in: ["inserted", "done", "duplicated", "error"] } }
    },
    {
      $project: {
        yearMonthDay: { $dateToString: { format: "%Y-%m-%d", date: "$date" } }
      }
    },
    { $match: { yearMonthDay: { $eq: "2019-08-06" } } }
  ])
  .map(function(d) {
    return d._id;
  });

//now delete those documents via $in operator
db.getCollection("Collection").remove({ _id: { $in: idsList } });