Obtenha dados do banco de dados mysql usando php e jquery ajax

Há dois erros de sintaxe em sua chamada ajax:

$(document).ready(function(){
    function showRoom(){
        $.ajax({
            type:"POST",
            url:"process.php",
            data:{action:"showroom"},
            success:function(data){
                $("#content").html(data);
            }
        });
    }
    showRoom();
});

Tenha em mente que o ajax do jQuery espera um objeto como parâmetro. Dentro de um objeto a sintaxe é

{ key : value }

Você tinha type="POST" que está correto na sintaxe declarativa, mas incorreto ao definir uma chave de objeto.

Em segundo lugar, a propriedade data do objeto mencionado acima deve ser um objeto também. Então, em vez de action=showroom, deveria ser

{action:"showroom"}