Usando $ push dentro do Array no mangusto

O que você está buscando não é uma estrutura válida. O que você provavelmente quer é um esquema onde NetworkList contém diretamente uma matriz de ObjectIds dos amigos do usuário:

var NetworkSchema = new Schema({
    UserID: {
        type: String,
        default: '',
        trim: true
    },
    NetworkList: [{
        type: Schema.ObjectId,
        ref: 'User'
    }]
});

Seus documentos ficariam assim:

{
    "_id" : ObjectId("548adbc8b7eac44013bf188d"),
    "NetworkList" : [ 
        ObjectId("5486fab40bc27314276be8cf") 
    ],
    "UserID" : "547eaaab6c39471c3f5aebb6",
    "__v" : 0
}

Então você pode adicionar um novo amigo a NetworkList usando o $push operador assim:

exports.update = function(req, res) {
    var query={'UserID': req.body.UserID};
    var update = {$push: {'NetworkList': req.body.FriendID}};

    Network.findOneAndUpdate(query, update, function(err, doc){ ... });
};