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Projeto com Match no agregado não está funcionando no mongodb


Você esqueceu de projetar os campos que está usando em $match e $group mais tarde. Para uma solução rápida, use esta consulta:
Offer.aggregate([
{
    $project: {
        myyear: { $year: "$ending_date" },
        carer_id: 1,
        status: 1,
        ending_date: 1
    }
},
{ 
    $match: { 
        carer_id: req.params.carer_id,
        myyear: 2015,
        status: 3
    }
},
{
    $group: {
        _id: {
            year: { $year: "$ending_date" },
            month: { $month: "$ending_date" }
        }, 
        count: { $sum: 1 }
    }
}], 
function (err, res)
{
    if (err) {} // TODO handle error 
    console.log(res); 
});

Dito isso, Blakes Seven explicou como fazer uma consulta melhor em sua resposta. Acho que você deveria tentar usar a abordagem dela.