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Comparando dois arrays de objetos e verifique se eles têm elementos comuns


3.6 Atualização:

Use $match com $expr . $expr permite o uso de expressões de agregação dentro de $match palco.
db.collection.aggregate([
  {"$match":{
    "$expr":{
      "$eq":[
        {"$size":{"$setIntersection":["$FirstArray.Name","$SecondArray.Name"]}},
        0
      ]
    }
  }},
  {"$project":{"_id":1}}
])

Versão antiga:

Você pode tentar $redact com $setIntersection para sua consulta.

$setIntersection para comparar o FirstArray s Name s com SecondArray s Name se retorna a matriz de documentos de nomes comuns seguidos por $size e $redact e compare o resultado com 0 para manter e remover o documento.
db.collection.aggregate(
  [{
    $redact: {
      $cond: {
        if: {
          $eq: [{
            $size: {
              $setIntersection: ["$FirstArray.Name", "$SecondArray.Name"]
            }
          }, 0]
        },
        then: "$$KEEP",
        else: "$$PRUNE"
      }
    }
  }, {
    $project: {
      _id: 1
    }
  }]
)