Você precisará usar o
$or operador lógico para fazer isso. {
"$or": [
{
"$expr": {
"$ne": [
"$firstName",
"$lastName"
]
}
},
{
"fullName": {
"$exists": true
}
}
]
}
Sua última consulta falhou porque o mongod acha que
$exists é a expressão que você está passando para o $expr operador. 
