Sua instrução select é mais complexa do que precisa ser, você obterá o mesmo conjunto desta maneira:
SELECT emp.employee_id,min(bo.booking_date) booking_date
FROM employee emp
LEFT JOIN booking bo
ON bo.employee_id = emp.employee_id
WHERE emp.joining_date is NULL
GROUP BY emp.employee_id;
Sua atualização pode ser feita assim, observe que a seção "e existe" é opcional, mas costumo incluí-la para tornar a intenção da consulta mais clara.
UPDATE employee emp
SET emp.joining_date =
(SELECT min(booking_date) from booking bo where bo.employee_id = emp.employee_id)
WHERE emp.joining_date IS NULL
and exists(select * from booking bo where bo.employee_id = emp.employee_id);
