yout jquery seria algo assim.
$("#Submit1").click(function () {
var arr = new Array();
$("input:checked").each(function () {
arr.push($(this).attr("id"));
}); //each
$.ajax({
type: "POST",
url: "core/actions/delete_multiple.php",
data: arr ,//pass the array to the ajax call
cache: false,
success: function()
{ }
});//ajax
}); //each
}); //click
já que a função PHP obterá um objeto JSON. você precisará fazer uma decodificação JSON para obter o array.... veja decodificação JSON ... use esta matriz para criar sua consulta como ..
delete from SalesLT.Customer
where CustomerID in (1,2,3,4);
