O pacote do servidor mysql instalará o servidor de banco de dados mysql com o qual você pode interagir usando um cliente mysql. Você pode usar o cliente mysql para enviar comandos para qualquer servidor mysql; em um computador remoto ou no seu próprio.
O servidor mysql é usado para persistir os dados e fornecer uma interface de consulta para eles (SQL). O objetivo dos clientes mysql é permitir que você use essa interface de consulta.
O pacote do cliente também vem com utilitários que permitem fazer backup/restauração de dados facilmente e administrar o servidor.