Antes da introdução de expressões de tabela comuns no MySQL 8, o primeiro método do GL seria mais rápido, mas aqui estão algumas outras ideias (também usando tecnologia mais antiga), apenas por diversão...
1.
SELECT x.*
, COUNT(*) rank
FROM my_table x
JOIN my_table y
ON y.a = x.a
AND y.b <= x.b
GROUP
BY x.a
, x.b;
2.
SELECT x.*
, FIND_IN_SET(b,n) rank
FROM my_table x
JOIN
( SELECT a
, GROUP_CONCAT(b ORDER BY b) n
FROM my_table
GROUP
BY a
) y
ON y.a = x.a;