Laravel - Número de parâmetro inválido:o parâmetro não foi definido

Sua consulta está falhando porque você está reutilizando parâmetros em sua consulta. Laravel usa PDO para suas consultas SQL. De acordo com os documentos :

Portanto, mesmo que tenham o mesmo valor, você terá que renomear esses parâmetros.

$results = \DB::select('SELECT client_id,
                           date_format(start_date,"%d/%m/%Y") as start_date,
                           date_format(end_date,"%d/%m/%Y") as end_date,
                           first_name, last_name, phone, postcode
                        FROM hire INNER JOIN client ON client.id = hire.client_id
                        where ((:sdate between start_date and end_date OR :edate between start_date and end_date) OR (:sdate2 <= start_date and end_date <= :edate2)) AND car_id = :car_id', [
    'sdate'  => $start_date,
    'sdate2'  => $start_date,
    'edate'  => $end_date,
    'edate2'  => $end_date,
    'car_id' => $car_id
]
);