AJAX atualiza o banco de dados MYSQL usando a função chamada do HTML gerado pelo PHP

Existem alguns erros neste código, deixe-me ajudá-lo linha por linha.

echo "<td> <img id='tblimg' 
onclick=\'like('" . $row['Username'] . "');\' 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px'></td>";

A função javascript é:

Escape de suas cotações para o evento onclick primeiro

    function like(user) 
    {

        $.ajax({
            url: "update.php",
            type: "POST",
            data: { 'username': user, 'liked': '1' },                   
            success: function()
                        {
                            alert("ok");                                    
                        }
        });
    }

adicione { e } à chamada ajax

Remova as aspas do nome e dos campos da tabela

$sql = "UPDATE followers SET Liked = '$Liked' WHERE Username = '$Username'";

no sucesso do ajax e após o início da função, você sempre pode imprimir uma mensagem para ver se sua função está sendo chamada, e se o script php estiver retornando algum erro, use um alerta para isso

ATUALIZAÇÃO

success: function(data){
   alert(data); // this will print you any php / mysql error as an alert                                    
}

ATUALIZAÇÃO 2

Escreva sua opção onclick assim.

echo "<img onclick=\"like('" . $row['Username']. "');\" 
src='like.jpg' alt='like/dislike image' 
width='80px' height='30px' />";