1. Sim, você pode ter várias conexões de banco de dados. Você não está abrindo um banco de dados, está abrindo uma conexão de banco de dados. O banco de dados está 'aberto' (ou seja, em execução) o tempo todo, de modo geral, esteja você conectado a ele ou não.
2. Depende... se você tiver apenas uma conexão aberta em uma página, então você não precisa fechá-la porque ela será fechada automaticamente quando o PHP terminar. Se você tiver muitos, poderá tornar o servidor de banco de dados mais lento ou fazer com que o servidor de banco de dados fique sem conexões disponíveis (ele só pode ter um certo número de conexões abertas ao mesmo tempo). Dito isso, os servidores de banco de dados mais modernos podem lidar com centenas de conexões simultâneas.
3. Opcional, mas recomendado. Não é grande coisa para projetos de pequeno e médio porte (ou seja, se você tiver menos de 100 visitantes simultâneos em um determinado momento, provavelmente não terá problemas). Como você tem muitos milhares de visitantes por minuto, você deve fechar ativamente a conexão com o banco de dados assim que terminar, para liberá-la o mais rápido possível.