Teste para nulo na função com parâmetros variados

Eu discordo de alguns dos conselhos em outras respostas. Isso pode ser feito com PL/pgSQL e acho que é principalmente muito superior para montar consultas em um aplicativo cliente. É mais rápido e mais limpo e o aplicativo envia apenas o mínimo necessário em solicitações. As instruções SQL são salvas dentro do banco de dados, o que facilita a manutenção - a menos que você queira coletar toda a lógica de negócios no aplicativo cliente, isso depende da arquitetura geral.

Função PL/pgSQL com SQL dinâmico

CREATE OR REPLACE FUNCTION func(
      _ad_nr       int  = NULL
    , _ad_nr_extra text = NULL
    , _ad_info     text = NULL
    , _ad_postcode text = NULL
    , _sname       text = NULL
    , _pname       text = NULL
    , _cname       text = NULL)
  RETURNS TABLE(id int, match text, score int, nr int, nr_extra text
              , info text, postcode text, street text, place text
              , country text, the_geom geometry)
  LANGUAGE plpgsql AS
$func$
BEGIN
   -- RAISE NOTICE '%', -- for debugging
   RETURN QUERY EXECUTE concat(
   $$SELECT a.id, 'address'::text, 1 AS score, a.ad_nr, a.ad_nr_extra
        , a.ad_info, a.ad_postcode$$

   , CASE WHEN (_sname, _pname, _cname) IS NULL THEN ', NULL::text' ELSE ', s.name' END  -- street
   , CASE WHEN (_pname, _cname) IS NULL         THEN ', NULL::text' ELSE ', p.name' END  -- place
   , CASE WHEN _cname IS NULL                   THEN ', NULL::text' ELSE ', c.name' END  -- country
   , ', a.wkb_geometry'

   , concat_ws('
   JOIN   '
   , '
   FROM   "Addresses" a'
   , CASE WHEN NOT (_sname, _pname, _cname) IS NULL THEN '"Streets"   s ON s.id = a.street_id' END
   , CASE WHEN NOT (_pname, _cname) IS NULL         THEN '"Places"    p ON p.id = s.place_id' END
   , CASE WHEN _cname IS NOT NULL                   THEN '"Countries" c ON c.id = p.country_id' END
   )

   , concat_ws('
   AND    '
      , '
   WHERE  TRUE'
      , CASE WHEN $1 IS NOT NULL THEN 'a.ad_nr = $1' END
      , CASE WHEN $2 IS NOT NULL THEN 'a.ad_nr_extra = $2' END
      , CASE WHEN $3 IS NOT NULL THEN 'a.ad_info = $3' END
      , CASE WHEN $4 IS NOT NULL THEN 'a.ad_postcode = $4' END
      , CASE WHEN $5 IS NOT NULL THEN 's.name = $5' END
      , CASE WHEN $6 IS NOT NULL THEN 'p.name = $6' END
      , CASE WHEN $7 IS NOT NULL THEN 'c.name = $7' END
   )
   )
   USING $1, $2, $3, $4, $5, $6, $7;
END
$func$;

Ligar:

SELECT * FROM func(1, '_ad_nr_extra', '_ad_info', '_ad_postcode', '_sname');

SELECT * FROM func(1, _pname := 'foo');

Como todos os parâmetros de função têm valores padrão, você pode usar posicional notação, nomeado notação ou misto notação à sua escolha na chamada da função. Ver:

Funções com número variável de parâmetros de entrada

Mais explicações para noções básicas de SQL dinâmico:

Refatorar uma função PL/pgSQL para retornar a saída de várias consultas SELECT

O concat() função é fundamental para construir a string. Foi introduzido com o Postgres 9.1.

O ELSE ramificação de um CASE declaração padrão para NULL quando não está presente. Simplifica o código.

O USING cláusula para EXECUTE impossibilita a injeção de SQL, pois os valores são passados como valores e permite usar valores de parâmetro diretamente, exatamente como em instruções preparadas.

NULL valores são usados para ignorar parâmetros aqui. Eles não são realmente usados para pesquisar.

Você não precisa de parênteses ao redor do SELECT com RETURN QUERY .

Função SQL simples

Você poderia faça isso com uma função SQL simples e evite SQL dinâmico. Para alguns casos, isso pode ser mais rápido. Mas eu não esperaria isso neste caso . Planejar a consulta sem junções e predicados desnecessários normalmente produz melhores resultados. O custo de planejamento para uma consulta simples como essa é quase insignificante.

CREATE OR REPLACE FUNCTION func_sql(
     _ad_nr       int  = NULL
   , _ad_nr_extra text = NULL
   , _ad_info     text = NULL
   , _ad_postcode text = NULL
   , _sname       text = NULL
   , _pname       text = NULL
   , _cname       text = NULL)
  RETURNS TABLE(id int, match text, score int, nr int, nr_extra text
              , info text, postcode text, street text, place text
              , country text, the_geom geometry)
  LANGUAGE sql AS 
$func$
SELECT a.id, 'address' AS match, 1 AS score, a.ad_nr, a.ad_nr_extra
     , a.ad_info, a.ad_postcode
     , s.name AS street, p.name AS place
     , c.name AS country, a.wkb_geometry
FROM   "Addresses"      a
LEFT   JOIN "Streets"   s ON s.id = a.street_id
LEFT   JOIN "Places"    p ON p.id = s.place_id
LEFT   JOIN "Countries" c ON c.id = p.country_id
WHERE ($1 IS NULL OR a.ad_nr = $1)
AND   ($2 IS NULL OR a.ad_nr_extra = $2)
AND   ($3 IS NULL OR a.ad_info = $3)
AND   ($4 IS NULL OR a.ad_postcode = $4)
AND   ($5 IS NULL OR s.name = $5)
AND   ($6 IS NULL OR p.name = $6)
AND   ($7 IS NULL OR c.name = $7)
$func$;

Chamada idêntica.

Para efetivamente ignorar parâmetros com NULL valores :

($1 IS NULL OR a.ad_nr = $1)

Para usar valores NULL como parâmetros , use esta construção em vez disso:

($1 IS NULL AND a.ad_nr IS NULL OR a.ad_nr = $1)  -- AND binds before OR

Isso também permite índices a ser usado.
Para o caso em questão, substitua todas as instâncias de LEFT JOIN com JOIN .

db<>mexa aqui - com demonstração simples para todas as variantes.
_{Antigo sqlfiddle}

Apartes

Não use name e id como nomes de colunas. Eles não são descritivos e quando você junta um monte de tabelas (como você faz para a lot em um banco de dados relacional), você acaba com várias colunas, todas chamadas name ou id , e tem que anexar aliases para classificar a bagunça.
Por favor, formate seu SQL corretamente, pelo menos ao fazer perguntas públicas. Mas faça isso em particular também, para o seu próprio bem.