Facepalm!!!
Os contêineres do docker estavam se comunicando muito bem, o problema era que eu não disse ao Resque (o aplicativo que usa o Redis) onde encontrá-lo. Obrigado ao "The Real Bill" por apontar que eu deveria estar usando o docker-cli.
Para qualquer outra pessoa usando Docker e Resque, você precisa disso em seu config/initializers/resque.rb Arquivo:
Resque.redis = Redis.new(host: 'redis', port: 6379)
Resque.after_fork = Proc.new { ActiveRecord::Base.establish_connection }
