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Agregação do Mongo DB com array de objetos


Você pode usar $elemMatch tudo bem, você só tem que colocar $and / $or no nível superior.

Seu primeiro exemplo seria 
db.products.find({
  $and: [
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Name', value: 'value 1' }
      }
    },
    {
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Category', value: { $in: ['value 1', 'value 2'] } }
      }
    },
    { 
      specification: {
        $elemMatch: { key: 'Department', value: 'value 3' }
      }
    }
  ]
})