Você tem que criar endpoint (do lado do servidor) pode ser Node pode ser algo mais parecido com php, e lá você aceitará a solicitação e inserirá os dados no seu banco de dados. Seu aplicativo React fará uma chamada ajax para o servidor e o servidor colocará os dados no banco de dados

Se você quiser fazer isso com o express, pode criar um aplicativo expresso simples com uma rota que obterá os dados do cliente e os enviará para o MongoDB. você não precisa usar o Mongoose, você pode usar o driver MongoDB ou externo para simplesmente enviar os dados para o MongoDB.