Como encontrar um documento e um único subdocumento que correspondam a determinados critérios na coleção do MongoDB

O que você está procurando é o $ posicional operador e "projeção". Para um único campo, você precisa corresponder ao elemento de matriz necessário usando "notação de ponto", para mais de um campo, use $elemMatch :

db.products.find(
    { "items.date": "31.08.2014" },
    { "shop": 1, "name":1, "items.$": 1 }
)

Ou o $elemMatch para mais de um campo correspondente:

db.products.find(
    { "items":  { 
        "$elemMatch": { "date": "31.08.2014",  "purchasePrice": 1 }
    }},
    { "shop": 1, "name":1, "items.$": 1 }
)

Eles funcionam apenas para um único elemento de matriz e apenas um será retornado. Se você quiser que mais de um elemento de matriz seja retornado de suas condições, precisará de um tratamento mais avançado com a estrutura de agregação.

db.products.aggregate([
    { "$match": { "items.date": "31.08.2014" } },
    { "$unwind": "$items" },
    { "$match": { "items.date": "31.08.2014" } },
    { "$group": {
        "_id": "$_id",
        "shop": { "$first": "$shop" },
        "name": { "$first": "$name" },
        "items": { "$push": "$items" }
    }}
])

Ou possivelmente de forma mais curta/rápida desde o MongoDB 2.6, onde sua matriz de itens contém entradas exclusivas:

db.products.aggregate([
    { "$match": { "items.date": "31.08.2014" } },
    { "$project": {
        "shop": 1,
        "name": 1,
        "items": {
            "$setDifference": [
                { "$map": {
                    "input": "$items",
                    "as": "el",
                    "in": {
                        "$cond": [
                            { "$eq": [ "$$el.date", "31.08.2014" ] },
                            "$$el",
                            false 
                        ]
                    }
                }},
                [false]
            ]
        }
    }}
])

Ou possivelmente com $redact , mas um pouco artificial:

db.products.aggregate([
    { "$match": { "items.date": "31.08.2014" } },
    { "$redact": {
        "$cond": [
             { "$eq": [ { "$ifNull": [ "$date", "31.08.2014" ] }, "31.08.2014" ] },
             "$$DESCEND",
             "$$PRUNE"
         ]
    }}
])

Mais moderno, você usaria $filter :

db.products.aggregate([
  { "$match": { "items.date": "31.08.2014" } },
  { "$addFields": {
    "items": {
      "input": "$items",
      "cond": { "$eq": [ "$$this.date", "31.08.2014" ] }
    }
  }}
])

E com várias condições, o $elemMatch e $and dentro do $filter :

db.products.aggregate([
  { "$match": { 
    "$elemMatch": { "date": "31.08.2014",  "purchasePrice": 1 }
  }},
  { "$addFields": {
    "items": {
      "input": "$items",
      "cond": { 
        "$and": [
          { "$eq": [ "$$this.date", "31.08.2014" ] },
          { "$eq": [ "$$this.purchasePrice", 1 ] }
        ]
      }
    }
  }}
])

Portanto, depende apenas se você sempre espera que um único elemento corresponda ou vários elementos e, em seguida, qual abordagem é melhor. Mas sempre que possível o .find() O método geralmente será mais rápido, pois não possui a sobrecarga das outras operações, que nessas últimas formas não ficam tão atrasadas.

Como uma nota lateral, suas "datas" são representadas como strings, o que não é uma boa ideia daqui para frente. Considere alterá-los para a Data adequada tipos de objetos, que o ajudarão muito no futuro.