Você não pode usar diretamente uma variável como uma chave de objeto, então você precisa alterá-la para algo como:
var name = 'a/name';
var query = {};
query['properties.source.' + name] = {$exists: true};
collection.find(query).toArray(function...
var name = 'a/name';
var query = {};
query['properties.source.' + name] = {$exists: true};
collection.find(query).toArray(function...
