Para obter o documento para o valor mais baixo de 'the_field' você deve usar db.the_collection.find().sort({the_field:1}).limit(1) Então, aqui estamos Classificando o documento primeiro e depois tirando o primeiro, como você pode ver na consulta.

Agregação $min :
É usado quando estamos agrupando o documento em um único documento e queremos manter o valor deste único documento como mínimo de todos os documentos de onde foi agrupado.

Operador $min :
É usado para limite inferior inclusivo para um índice específico para restringir os resultados de find(). Em palavras simples, se the_field estiver indexado e quisermos manter alguma restrição no find(), podemos usá-lo. Geralmente é usado para melhorar o desempenho.
A sintaxe que você estava digitando estava correta, mas requer um campo Indexado e o resultado será diferente do que você realmente deseja.