Não há uma maneira interna de copiar coleções com o driver C#, mas você ainda pode fazer isso de maneira simples como:
var source = db.GetCollection("test");
var dest = db.GetCollection("testcopy");
dest.InsertBatch(source.FindAll());
Observe, no entanto, que isso não copiará nenhum índice da coleção de origem. O
copyTo do shell O método tem a mesma limitação, então provavelmente é implementado de forma semelhante. 
