Aqui está um resumo das diferenças:

$lookup

• só pode ser usado com aggregate
• só pode ser usado para extrair documentos referenciados de coleções não fragmentadas
• pode extrair documentos referenciados por qualquer campo
• geralmente com melhor desempenho, pois é uma operação do lado do servidor
• requer MongoDB 3.2+

Mangusto populate()

• pode ser usado com find e aggregate
• pode ser usado para extrair documentos referenciados de coleções fragmentadas e não fragmentadas
• só pode extrair documentos referenciados por _id
• nenhum requisito de versão do MongoDB