É muito fácil registrar erros no SSIS. Vá para a guia Manipuladores de eventos, selecione OnError no menu suspenso. Agora, aqui você pode enviar e-mail sobre qualquer erro ou pode desenvolver sua própria lógica personalizada para registrar o erro no banco de dados ou gravar no arquivo de texto.

Além disso, você pode escolher um mecanismo de log existente disponível no SSIS. Clique no menu "SSIS", você verá a primeira opção como Logging, então você verá diferentes opções para registrar erros/avisos e muitas informações que você precisa.