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O LocalDB foi introduzido no SQL Server 2012 CTP3. É basicamente uma nova versão do SQL Express, com a mesma funcionalidade, dedicada aos desenvolvedores. Portanto, você não precisa instalar nenhum servidor SQL. Se você instalou o SQL 2012 ou o Visual Studio 11, já o tem e ele é executado em .Net 4 ou superior. Se você estiver usando o Visual Studio 11 e estiver jogando com o novo EntityFramework e MVC, poderá vê-lo na cadeia de conexão padrão.
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MDF é a extensão padrão para arquivos de banco de dados do SQL Server. (Os arquivos de log são LDF) Veja também esta pergunta.
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Você pode restaurar para uma pasta específica usandoRESTORE DATABASE WITH MOVE
conforme documentado no MSDN aqui.
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LocalDB é destinado a desenvolvedores, veja o ponto 1.
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O blog do SQL Server Express tem um post informativo sobre o LocalDB aqui.