Envie o formulário ajax e permaneça na mesma página não funcionando

O formulário é enviado e não permanece na mesma página devido ao atributo de ação no formulário e ao botão de envio normal.

O que leva ao seu .submit() método incluindo .preventDefault() provavelmente também não está sendo interpretado após o html ser carregado.

Você poderia fazer algo na linha disso:

<html>
  ...
  <body>
  ...
    <form id="formA" action="test.php" method="post" enctype="multipart/form-data">
      <input id="commentData" name="commentData" type="text" />
      <input type="submit" value="toDb" id="toDB" name="toDB" />
    </form>
  ...
  </body>
  <script>
   ...script here...
  </script>
 </html>

E o javascript pode ser algo como:

( function( $ )
  {
    var submit = $( 'input[id=toDB]' );
    $( submit ).on
    (
      'click',
      function( event )
      {
        event.preventDefault();
        var form = $( this ).parent();

        // Get form fields
        var data = $( form ).serializeArray(), obj = {}, j = 0;
        for( var i = 0; i < data.length; i++ )
        {
          if( data[i].name in obj )                                                                  
          {
            var key = data[i].name + '_' + j;
            obj[key] = data[i].value;
            j++;
          }
          else
          {
            obj[data[i].name] = data[i].value;
          }
        };

        // Make AJAX request
        $.ajax
        (
          {   
            url: $( form ).attr( 'action' ),    
            type: 'POST',
            data: 'toDB=' + JSON.stringify( obj ),    
            success: function( data, textStatus, xhr )
            {
              // Do something with data?
              ...    
              alert( 'ok' );    
            }
          }
        );
      }
    );
  }( jQuery )
);

Veja o jsfiddle para você mesmo.

Você pode dizer que está funcionando porque você recebe um erro de console de que o destino da solicitação não foi encontrado - 404 - embora a página não seja atualizada, você fica exatamente onde está ... com uma página adequada para enviar a ela funciona totalmente.

EDITAR

Modifiquei a configuração de 'data' no ajax() call para que os campos do formulário sejam definidos como uma string json para uma variável POST [toDB].

Então no seu PHP você faria:

$datas = json_decode( $_POST['toDB'], true );

E agora seu $datas variável é uma matriz associativa contendo todos os nomes e valores de seus campos de formulário. Eu não estou 100% nesta próxima declaração, mas você pode precisar usar o stripslashes() do PHP método nos dados POSTED antes de usar json_decode()

ou seja:

//Connect to database server
mysql_connect( "localhost", "user", "" ) or die ( mysql_error() );
mysql_select_db( "test" ) or die( mysql_error() );
$strSQL = "SELECT * FROM comments order by RAND() LIMIT 5";
$rs = mysql_query( $strSQL );

if( !$rs ) 
{
  echo 'Could not run query ' . mysql_error();
  exit;
}

$dt1=date("Y-m-d");

if( isset( $_POST['toDB'] ) )
{
  $datas = json_decode( stripslashes( $_POST['toDB'] ), true );
  $dataA = $datas['commentData'];
  $sql = "INSERT INTO comments( id, comment, datum )VALUES( DEFAULT, '" . $dataA . "', '" . $dt1 . "' );";
  $result=mysql_query( $sql );
}
mysql_close();

espero que ajude