Você deve usar mysql_result e obter a primeira coluna do resultado. Assim:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) FROM game_paths WHERE user='$user'");
$count = mysql_result($result, 0);
Você também pode criar um alias para a coluna assim:
$result = mysql_query("SELECT COUNT(user) AS total FROM game_paths WHERE user='$user'");
$data = mysql_fetch_assoc($result);
$count = $data['total'];
O que pode ser melhor se você selecionar várias colunas ao mesmo tempo e também para facilitar a leitura.
