Pode não ser a maneira mais bonita, mas você pode facilmente fazer algo como:
set @rank = 0;
set @prev = 0;
select id, score, IF (id = @prev, @rank := @rank + 1, @rank := 1), @prev := id
from scores
order by id, score;
Eu acho que você quer a declaração de atualização também, e isso seria:
set @rank = 0;
set @prev = 0;
update scores
set rank = IF(id = @prev, @rank := @rank + 1, @rank := 1),
id = (@prev := id)
order by id, score;
