O PDO é compatível com os planos de hospedagem Linux em GoDaddy mas aparentemente tem que ser habilitado através do cPanel em algumas contas:

1. Vá para o cPanel no menu Hospedagem em Minha conta.
2. Vá para "Selecionar versão do PHP ".
3. Escolha a versão do PHP na caixa de depósito (por exemplo, 5.5) e clique em "Definir como atual ".
4. Marque as caixas de seleção dos recursos desejados (por exemplo, PDO) e clique em "Salvar ".

Passei algum tempo esta noite conversando com o suporte técnico da GoDaddy para descobrir isso e pensei em compartilhar.