Há um problema fundamental em ter um banco de dados (MySQL) disponível para a web. Com o MySQL você pode configurá-lo para exigir ssh-tunnels ou ssl-certificates, ambos prevenindo o envio de senhas em texto não criptografado. Geralmente você terá que escrever tanto seu software cliente quanto um software servidor que fica em um servidor próximo ao banco de dados (e o protocolo entre cliente/servidor).

Nenhum é mais correto do que o outro, mas dependendo do seu banco de dados (e de suas máquinas clientes), isso pode influenciar os custos de licenciamento.

Normalmente, seu cliente autenticaria usuários com o software de servidor que você escreveria e, em seguida, o software de servidor usaria um único login de banco de dados para entrar em contato com o banco de dados.