Com o MySQL você estará sempre indexando e pesquisando seus dados.

Com o ElasticSearch, você tem mais flexibilidade no que indexa como uma unidade. Você pode pegar todos os comentários e tags de conteúdo para um item e colocá-lo no ES como um item.

Você também provavelmente descobrirá que o ES fornecerá melhor desempenho e melhores resultados em geral que você obteria com o mysql. Você também tem mais flexibilidade com coisas como sinônimos e ponderação.

Mas isso significa que você tem outra pilha para manter e precisa gerenciar a indexação e a atualização do conteúdo.

Então vai depender do tamanho dos seus dados e da importância da busca como recurso.

Sugiro que você comece com a pesquisa de texto do MySql, pois em um caso simples, será rápido de configurar e, se isso não fornecer o que você precisa, atualize para a pesquisa elástica. Você terá pelo menos um recurso de espantalho que pode ser usado para refinar ainda mais seus requisitos de pesquisa.