Dois problemas que vejo:

Manutenção - vai ser difícil fazer alterações no banco de dados (alterar a estrutura da tabela, modificar SPs, etc.) se você tiver milhares de bancos de dados. Claro que você pode fazer o script das alterações, mas muitos bancos de dados são muito mais chances de algo dar errado. O que você vai fazer se seu script falhar no meio do caminho e você ficar com alguns bancos de dados que têm as alterações e outros que não? Além disso, como outro pôster mencionou, e a manutenção de coisas como strings de conexão, logins/senhas, etc.?

Recursos - não tenho certeza de quais recursos cada instância de um banco de dados usa, mas deve haver alguma sobrecarga para executar tantos bancos de dados. Se você dividi-lo em várias máquinas, você novamente se depara com o problema de manutenção acima.