Acabou sendo um erro bobo, mas postando mesmo assim, caso mais alguém tenha o problema:

Eu estava acessando a instância de réplica por engano - copiei o endpoint para a réplica e aparentemente é somente leitura. Portanto, se você tiver esse problema, verifique se está se conectando à instância primária ou, melhor de tudo, ao endpoint do cluster de banco de dados.

Editar: De acordo com a resposta de @Justin, definitivamente devemos usar o DB Cluster: