É fácil no Kubernetes também. Você pode fazer da seguinte forma,

1. Coloque seu init.sql arquivo em um volume do Kubernetes .
2. Monte este volume em /docker-entrypoint-initdb.d diretório do seu pod mysql.

Aqui está um exemplo de arquivo yaml:mysql-init-demo.yaml

Você também pode usar um init-container para baixar init.sql arquivo em um volume do Kubernetes montado em /docker-entrypoint-initdb.d diretório do contêiner mysql.

UPD: Como você especificou na atualização que a solução que você indicou não funcionará para você. Acho que init-container abordagem será mais adequada para você. Aqui está como você pode fazer:

1. Crie um pvc. Deixe que seu nome seja init-script .
2. 
   Agora, adicione um init-container para o seu pod mysql. Monte este init-script pvc em algum diretório deste init-container . Configure seu init-container de modo que baixe seu init.sql arquivo neste diretório.
   
3. 
   Monte o init-script no contêiner mysql em /docker-entrypoint-initdb.d
   

Deixe-me saber se você precisar de alguma amostra com init-container abordagem.

UPD-2: Eu adicionei uma amostra para init-container abordagem. Você pode encontrá-lo aqui .