Você está escapando do
$ na variável fazendo \$ .Experimentar:$query = "SELECT * FROM `cats` WHERE name='$name'";
EDITAR
Da discussão abaixo.
O problema com o
undefined index é o fato de você estar usando $row['age'] quando na verdade, o nome da coluna no banco de dados é Age . Portanto, você deve usar $row['Age'] ao se referir ao item. O mesmo vale para name . 
