Soma do MySQL, conte com group by e joins

Sua primeira tentativa foi bem perto. Mas cada post_id estava sendo multiplicado pelo número de correspondências em insights , então você precisa usar DISTINCT :

select type_name, count(distinct p.post_id), sum(likes), sum(comments)
from types t
left join posts p on t.type_id = p.post_type
left join insights i on p.post_id = i.post_id
group by type_name;

Como alternativa, você pode agrupar com uma subconsulta que combine todos os insights para a mesma postagem:

select type_name, count(*), sum(likes), sum(comments)
from types t
left join posts p on t.type_id = p.post_type
left join (select post_id, sum(likes) likes, sum(comments) comments
           from insights
           group by post_id) i on p.post_id = i.post_id
group by type_name;

FIDDLE