Parece que você está muito perto, mas tenha
register na indentação errada. É um parâmetro da própria tarefa, não do módulo postgresql. Tentar:
- name: Get specific tables
postgresql_query:
db: "{{ database_name }}"
login_host: "{{ my_host }}"
login_user: "{{ my_user }}"
login_password: "{{ my_password }}"
query: SELECT * FROM pg_tables t WHERE t.tableowner = current_user
register: result
- debug:
var: result
