Você pode criar um índice de trigramas que dará suporte à sua consulta.
Para isso você precisa do
pg_trgm extensão; execute o seguinte como superusuário:CREATE EXTENSION pg_trgm;
Então você pode criar um índice GIN:
CREATE INDEX ON dir USING gin (path gin_trgm_ops);
Esse índice pode ser usado com sua segunda e terceira abordagem, portanto, deve funcionar para você.
Com padrões curtos como o de seus exemplos, o índice não será muito eficaz.
Você também pode usar um índice GiST, que provavelmente será menor, mas mais lento para pesquisar.
Observe que você pode usar esse índice também com padrões que começam com
% . 
