Como obter o mesmo resultado usando Mysql Joins em vez de subconsultas aninhadas?

Você pode alterar sua consulta como,

Para todas as músicas do banco de dados, exceto as da sua lista de reprodução

$sql1 = "Select distinct title, artist, album 
from songs where id not in(Select distinct song.id
from songs song inner join playlist playlist 
on playlist.song_id=song.id
inner join playlists playlists 
on playlists.playlist_id=playlist.playlist_id
and playlists.name = '$playlist_name')";

Os da sua playlist,

$sql2 = "Select distinct song.title, song.artist, song.album
from songs song inner join playlist playlist 
on playlist.song_id=song.id
inner join playlists playlists 
on playlists.playlist_id=playlist.playlist_id
and playlists.name = '$playlist_name'";