Como não há como dizer qual driver você usa, aqui está uma solução de shell:
db.foo.find({
"Asset.Metadata.Platforms.Platform": {
$elemMatch: {
"@name": VAR_PLATFORM,
"PublishingRanges.PublishingRange": {
$elemMatch: {
"@startdate": {$gt: VAR_START},
"@enddate": {$lt: VAR_END}
}
}
}
}
})
A propósito, você pode simplificar a estrutura do documento omitindo
Platform e PublishingRange e atribuindo matrizes a Platforms um PublishingRanges respectivamente. 
