Isso acontece se você atingir os limites do sandbox. Mais detalhes na minha resposta antiga Falhas intermitentes em Aplicativo Web do Azure

Para saber sobre os limites do sandbox, consulte https://github.com /projectkudu/kudu/wiki/Azure-Web-App-sandbox

Também encontrei http:/ /www.freekpaans.nl/2015/08/starving-outgoing-connections-on-windows-azure-web-sites/ que foi muito bem escrito sobre o mesmo assunto

Editar - fevereiro de 2018

Se você está enfrentando esse problema agora, vá para Diagnosticar e resolver o blade para seu aplicativo no portal do Azure e verifique as Conexões TCP telha. Ele deve fornecer informações sobre o site que consome o máximo de portas e permitir que você monitore as conexões de estado em toda a instância.