Como as matrizes são aninhadas, você não pode usar a projeção básica como pode com find. Além disso, para "filtrar" o conteúdo da matriz de um documento, você precisa "desenrolar" o conteúdo da matriz primeiro. Para isso você usa o framework de agregação:
$results = $db->genealogical_data->aggregate(array(
array( '$match' => array(
'people.search_columns.givenname' => 'Valentine'
)),
array( '$unwind' => '$people' ),
array( '$match' => array(
'people.search_columns.givenname' => 'Valentine'
)),
array( '$group' => array(
'_id' => '$id',
'name' => array( '$first' => '$name' ),
'people' => array( '$push' => '$people' )
))
));
O ponto do primeiro
$match
etapa é reduzir os documentos que possivelmente atendem aos seus critérios. A segunda vez é feita após o $unwind
, onde os itens de "matriz" reais no documento são "filtrados" dos resultados. O
$group final
coloca a matriz original de volta ao normal, menos os itens que não correspondem aos critérios. 
