Use o seguinte pipeline de agregação:
db.click_log.aggregate([
{ "$match" : { "log.type" : { "$ne" : "emailed" } } }, // get rid of docs with an "emailed" value in log.type and docs not from this month
{ "$unwind" : "$log" }, // unwind to get log elements as separate docs
{ "$project" : { "_id" : 1, "log" : 1, "month" : { "$month" : "$log.utc_timestamp" } } },
{ "$match" : { "log" : "clicked", "month" : <# of month> } }, // get rid of log elements not from this month and that aren't type clicked
{ "$group" : { "_id" : "$_id", "count" : { "$sum" : 1 } } } // collect clicked elements from same original doc and count number
])
Isso retornará, para cada documento que não tenha "enviado por e-mail" como um valor de
log.type , a contagem de elementos do array log que tem log.type valor clicked e com timestamp do mês atual. Se você quiser um período de 30 dias por mês, altere o $match para ser uma consulta de intervalo com $gt e $lt abrangendo o período de tempo desejado. 
