MongoDB:Existência de uma chave aninhada

Com a versão do MongoDb>=3.6, você pode aproveitar o operador $expr em sua consulta e use o $objectToArray para converter o objeto dinâmico em uma matriz, filtre a matriz para o campo de valor de trabalho usando $ifNull como operador condicional.

O exemplo a seguir demonstra essa abordagem:

db.collection.find({
    $expr: {
        $gt: [
            {
                $size: {
                    $filter: {
                        input: { $objectToArray: '$$ROOT' },
                        cond: { 
                            $ifNull: ['$$this.v.work', false]
                        }
                    }
                }
            },
            0
        ]
    }
})

~~Não é uma boa prática ter valores como chaves e atualmente (e provavelmente no futuro também) não é possível consultar coleções do MongoDB com curingas em nomes de campos.~~

Para um design de esquema alternativo fácil de consultar, sugiro um redesenho de esquema que siga este modelo:

"_id" : ObjectId("55128d6315f3df650f2038cf"),
"customer_name" : "test user",
"createad" : "2011-04-14 16:44:09",
"data" : [ 
    {
        "key" : "123456",
        "home" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        },
        "work" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        }
    }, 
    {
        "key" : "321456",
        "home" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        },
        "work" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        }
    }, 
    {
        "key" : "789654",
        "home" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        },
        "work" : {
            "id" : "1536734296",
            "last" : "2011-04-14 16:44:09"
        }
    }
]

}

Que você pode consultar da seguinte forma

db.collection.find({ "data.work" : { $exists : true, $ne : null } })

para verificar a existência do work campo no data variedade.