Você pode usar a estrutura de agregação:
db.test.aggregate([
{ $unwind: '$arr' },
{ $limit: 1 },
{ $project: { _id: 0, arr: 1 } },
{ $unwind: '$arr' },
{ $skip: 1 },
{ $limit: 1 }
])
Devoluções:
{ "arr": 22 }
Editar: O pôster original modificou minha solução para atender às necessidades dele e apresentou o seguinte:
db.test.aggregate([
{ $match: { name:"Olivia" } },
{ $project: { _id: 0,arr: 1 } },
{ $unwind: '$arr' },
{ $skip: 1 },
{ $limit:1 },
{ $unwind: "$arr" },
{ $skip: 2 },
{ $limit: 1 }
])
Esta consulta resultará em
{ arr: 77 } dados alargados fornecidos pelo PO. Observe que $skip e $limit são necessários para selecionar os elementos corretos na hierarquia da matriz. 
