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Matriz de projeto de objetos para valor-chave


Sim, usando $arrayToObject e $map para converter o array existente para um formato que ele aceita:
db.collection.aggregate([
  { "$replaceRoot": {
    "newRoot": {
      "$arrayToObject": {
        "$concatArrays": [
          [{ "k": "date", "v": "$_id.date" }],  
          { "$map": {
            "input": "$aggr",
            "in": { "k": "$$this.gender", "v": "$$this.count" }
          }}
        ]
      }
    }    
  }}
])

É claro que se isso estiver apenas na "cauda" de uma agregação existente e você não tiver pelo menos o MongoDB 3.4.4 onde o operador é introduzido, você pode simplesmente reformular o resultado no código do cliente:
db.collection.aggregate([
  // existing pipeline
]).map(d => 
  Object.assign(
    { date: d._id.date },
    d.aggr.reduce((acc,curr) =>
      Object.assign(acc,{ [curr.gender]: curr.count }),{}
    )
  )
)