A consulta c# será semelhante a:
Query.Matches("name", BsonRegularExpression.Create(new Regex("Joe")));
Atualização:
De acordo com a sugestão do @RoberStam, há uma maneira mais simples de fazer isso:
Query.Matches("name", "Joe")
Query.Matches("name", BsonRegularExpression.Create(new Regex("Joe")));
Query.Matches("name", "Joe")
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