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Agregação do Mongo:$ group e $ project array para objetar para contagens


Com o MongoDb 3.4 e mais recente, você pode aproveitar o uso de $arrayToObject operador para obter o resultado desejado. Você precisaria executar o seguinte pipeline agregado:
db.collection.aggregate([
    { "$group": {
        "_id": {  
            "date": "$install_date",  
            "platform": { "$toLower": "$platform" }
        },
        "count": { "$sum": 1 }
    } },
    { "$group": {
        "_id": "$_id.date",
        "counts": {
            "$push": {
                "k": "$_id.platform",
                "v": "$count"
            }
        }
    } },
    {  "$addFields": {
        "install_date": "$_id", 
        "platform": { "$arrayToObject": "$counts" }
    }  },
    { "$project": { "counts": 0, "_id": 0 } } 
])

Para versões mais antigas, aproveite o $cond operador no $group etapa do pipeline para avaliar as contagens com base no valor do campo da plataforma, algo como o seguinte:
db.collection.aggregate([    
    { "$group": { 
        "_id": "$install_date",             
        "android_count": {
            "$sum": {
                "$cond": [ { "$eq": [ "$platform", "android" ] }, 1, 0 ]
            }
        },
        "ios_count": {
            "$sum": {
                "$cond": [ { "$eq": [ "$platform", "ios" ] }, 1, 0 ]
            }
        },
        "facebook_count": {
            "$sum": {
                "$cond": [ { "$eq": [ "$platform", "facebook" ] }, 1, 0 ]
            }
        },
        "kindle_count": {
            "$sum": {
                "$cond": [ { "$eq": [ "$platform", "kindle" ] }, 1, 0 ]
            }
        } 
    } },
    { "$project": {
        "_id": 0, "install_date": "$_id",            
        "platform": {
            "android": "$android_count",
            "ios": "$ios_count",
            "facebook": "$facebook_count",
            "kindle": "$kindle_count"
        }
    } }
])

Acima, $cond recebe uma condição lógica como seu primeiro argumento (if) e, em seguida, retorna o segundo argumento onde a avaliação é verdadeira (então) ou o terceiro argumento onde é falso (senão). Isso torna os retornos verdadeiro/falso em 1 e 0 para alimentar $sum respectivamente.

Por exemplo, se { "$eq": [ "$platform", "facebook" ] }, for true, a expressão será avaliada como { $sum: 1 } senão será { $sum: 0 }