Aqui você vai:
select length('123-345-566') - length(replace('123-345-566','-',null))
from dual;
Tecnicamente, se a string que você deseja verificar contiver apenas o caractere que deseja contar, a consulta acima retornará NULL; a seguinte consulta dará a resposta correta em todos os casos:
select coalesce(length('123-345-566') - length(replace('123-345-566','-',null)), length('123-345-566'), 0)
from dual;
O 0 final em
coalesce pega o caso em que você está contando em uma string vazia (ou seja, NULL, porque length(NULL) =NULL no ORACLE). 
