A instrução SQL IF está sendo ignorada

Martin definitivamente estava em alguma coisa. O material dentro do IF está sendo tratado pelo analisador no momento da análise e ignorando se o seu IF vai deslanchar. Esta é a mesma razão que você não pode fazer:

IF 1 = 1
  CREATE TABLE #x(a INT);
ELSE
  CREATE TABLE #x(b INT);

Uma solução seria usar SQL dinâmico:

IF EXISTS ...
BEGIN
  BEGIN TRANSACTION;

  DECLARE @sql NVARCHAR(MAX);

  SET @sql = N'
        DELETE FROM [dbo].[Notes]
        WHERE [EntityId] IS NULL 
        AND [EntityType] IS NULL
        --Delete notes where the corresponding contact or account has been deleted.
        OR [ID] IN (9788, 10684, 10393, 10718, 10719)

        --Populate new columns with all existing data
        UPDATE [dbo].[Notes]
        SET [AccountId] = [EntityId]
        WHERE [EntityType] = 1

        UPDATE [dbo].[Notes]
        SET [ContactId] = [EntityId]
        WHERE [EntityType] = 2

        --Delete EntityId and EntityType columns from the Notes table
        ALTER TABLE [dbo].[Notes]
        DROP COLUMN [EntityId], [EntityType]';

    EXEC sp_executesql @sql;

    COMMIT TRANSACTION;
END

Mas você ainda deve ter certeza de que ambos colunas estão lá.