Não perto de um terminal para verificar, mas acredito que você tenha que digitar vinculá-lo ao INT e enviá-lo como um INT, não como "b010101" (ou qualquer outra coisa):
$sql='INSERT INTO test(id,data) VALUES(:id,:bit)';
$stmt=db::db()->prepare($sql);
$stmt->bindValue('id', null, PDO::PARAM_NULL);
$stmt->bindValue('bit', (int)$value, PDO::PARAM_INT);
$stmt->execute();
A verificação rápida no Google trouxe esta resposta anterior semelhante .
